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5.3 KiB
Python
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import math
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# 定义插值点
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list_x = [10, 11, 12, 13] # 自变量列表
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list_y = [2.3026, 2.3979, 2.4849, 2.5649] # 因变量列表
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# 定义原函数和其导函数计算结果
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def FxDiff_n(x, n):
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"""
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计算自然对数函数 ln(x) 的 n 阶导数值。
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参数:
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x (float): 自变量值，要求 x > 0。
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n (int): 导数的阶数，n >= 0。
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返回:
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float: ln(x) 的 n 阶导数值。
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"""
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result = 0
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if n == 0:
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result = math.log(x) # 原函数 ln(x)
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else:
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result = (-1)**(n+1) * math.factorial(n-1) / (x**n) # n 阶导数公式
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return result
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# 获取与待求 x 最接近的两个点
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def GetClosestTwo(x, list_x):
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"""
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获取与待求点 x 最接近的两个插值点的索引。
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参数:
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x (float): 待插值的自变量值。
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list_x (list of float): 自变量列表，要求已按升序排列。
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返回:
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tuple of int: 最接近的两个点的索引 (i, j)，满足 list_x[i] <= x < list_x[j]。
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"""
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for i in range(0, len(list_x)):
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if x < list_x[i]:
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return i-1, i
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return len(list_x)-2, len(list_x)-1
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# 获取与待求 x 最接近的三个点
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def GetClosestThree(x, list_x):
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"""
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获取与待求点 x 最接近的三个插值点的索引。
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参数:
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x (float): 待插值的自变量值。
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list_x (list of float): 自变量列表，要求已按升序排列。
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返回:
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tuple of int: 最接近的三个点的索引 (i, j, k)，满足 list_x[i] <= x < list_x[k]。
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"""
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if x < list_x[1]:
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return 0, 1, 2
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for i in range(3, len(list_x)):
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if x < list_x[i]:
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return i-2, i-1, i
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return len(list_x)-3, len(list_x)-2, len(list_x)-1
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# 线性插值余项计算
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def LinearRegression(x, list_x):
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"""
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计算线性插值的余项估计值。
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参数:
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x (float): 待插值的自变量值。
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list_x (list of float): 自变量列表，要求已按升序排列。
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返回:
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float: 线性插值的余项估计值。
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"""
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i, j = GetClosestTwo(x, list_x)
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ks = max([abs(FxDiff_n(list_x[i], 2)), abs(FxDiff_n(list_x[j], 2))]) # 二阶导数的最大值
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omg = (x - list_x[i]) * (x - list_x[j]) # 乘积项
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return abs(ks * omg / 2)
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# 抛物线插值余项计算
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def ParabolaRegression(x, list_x):
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"""
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计算抛物线插值的余项估计值。
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参数:
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x (float): 待插值的自变量值。
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list_x (list of float): 自变量列表，要求已按升序排列。
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返回:
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float: 抛物线插值的余项估计值。
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"""
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i, j, k = GetClosestThree(x, list_x)
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ks = max([abs(FxDiff_n(list_x[i], 3)), abs(FxDiff_n(list_x[j], 3)), abs(FxDiff_n(list_x[k], 3))]) # 三阶导数的最大值
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omg = (x - list_x[i]) * (x - list_x[j]) * (x - list_x[k]) # 乘积项
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return abs(ks * omg / 6)
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# 线性插值
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def LinearInterpolation(x, list_x, list_y):
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"""
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使用线性插值法计算插值结果及其余项估计值。
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参数:
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x (float): 待插值的自变量值。
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list_x (list of float): 自变量列表，要求已按升序排列。
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list_y (list of float): 因变量列表，与 list_x 一一对应。
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返回:
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tuple: 插值结果和余项估计值 (result, r)。
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"""
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i, j = GetClosestTwo(x, list_x)
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result = list_y[i] + (x - list_x[i]) * (list_y[j] - list_y[i]) / (list_x[j] - list_x[i]) # 插值公式
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r = LinearRegression(x, list_x) # 余项估计
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return (result, r)
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# 抛物线插值
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def ParabolaInterpolation(x, list_x, list_y):
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"""
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使用抛物线插值法计算插值结果及其余项估计值。
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参数:
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x (float): 待插值的自变量值。
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list_x (list of float): 自变量列表，要求已按升序排列。
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||
list_y (list of float): 因变量列表，与 list_x 一一对应。
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||
返回:
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tuple: 插值结果和余项估计值 (result, r)。
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"""
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i, j, k = GetClosestThree(x, list_x)
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result = list_y[i] * (x - list_x[j]) * (x - list_x[k]) / (list_x[i] - list_x[j]) / (list_x[i] - list_x[k])
|
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result += list_y[j] * (x - list_x[i]) * (x - list_x[k]) / (list_x[j] - list_x[i]) / (list_x[j] - list_x[k])
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result += list_y[k] * (x - list_x[i]) * (x - list_x[j]) / (list_x[k] - list_x[i]) / (list_x[k] - list_x[j])
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r = ParabolaRegression(x, list_x) # 余项估计
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return (result, r)
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# 拉格朗日插值
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def LagrangeInterpolation(x, list_x, list_y):
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"""
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使用拉格朗日插值法计算插值结果。
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参数:
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x (float): 待插值的自变量值。
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list_x (list of float): 自变量列表，要求已按升序排列。
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||
list_y (list of float): 因变量列表，与 list_x 一一对应。
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||
返回:
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float: 插值结果。
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"""
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result = 0
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for i in range(0, len(list_x)):
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temp = 1
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for j in range(0, len(list_x)):
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if i != j:
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temp *= (x - list_x[j]) / (list_x[i] - list_x[j]) # 拉格朗日基函数
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result += temp * list_y[i]
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return result
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if __name__ == "__main__":
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# 测试线性插值
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print(LinearInterpolation(11.75, list_x, list_y))
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# 测试抛物线插值
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print(ParabolaInterpolation(11.75, list_x, list_y))
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# 测试拉格朗日插值
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||
print(LagrangeInterpolation(11.75, list_x, list_y))
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