import math
import numpy as np

# 定义插值点
list_x = [0.0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8]  # 自变量列表
list_y = [1.0, 1.2214, 1.4918, 1.8221, 2.2255]  # 因变量列表

def GetDyList(list_y):
    """
    计算前向差分表。

    参数:
        list_y (list of float): 因变量列表。

    返回:
        list of list of float: 前向差分表，每一行是对应阶数的差分值。
    """
    result = []
    result.append(list_y)
    for i in range(len(list_y) - 1, 0, -1):
        tmp = []
        for j in range(i):
            tmp.append(result[len(list_y) - 1 - i][j + 1] - result[len(list_y) - 1 - i][j])
        result.append(tmp)
    return result

def FxDiff_n(x, n):
    """
    计算函数 e^x 的 n 阶导数值。

    参数:
        x (float): 自变量值。
        n (int): 导数的阶数，n >= 0。

    返回:
        float: e^x 的 n 阶导数值。
    """
    return math.exp(x)

def NewtonForwardRegression(x, n, list_x):
    """
    计算牛顿前向插值的余项估计值。

    参数:
        x (float): 待插值的自变量值。
        n (int): 插值多项式的阶数。
        list_x (list of float): 自变量列表，要求等间距。

    返回:
        float: 牛顿前向插值的余项估计值。
    """
    h = list_x[1] - list_x[0]  # 等间距
    t = (x - list_x[0]) / h  # 归一化变量
    ks = max([abs(FxDiff_n(list_x[i], n + 1)) for i in range(n + 1)])  # n+1 阶导数的最大值
    result = 1
    for i in range(n + 1):
        result *= (t - i) * h / (i + 1)  # 余项公式中的乘积项
    return result * ks

def NewtonForwardInterpolation(x, n, list_x, list_y):
    """
    使用牛顿前向插值法计算插值结果及其余项估计值。

    参数:
        x (float): 待插值的自变量值。
        n (int): 插值多项式的阶数。
        list_x (list of float): 自变量列表，要求等间距。
        list_y (list of float): 因变量列表，与 list_x 一一对应。

    返回:
        tuple: 插值结果和余项估计值 (result, r)。
    """
    list_dyk = GetDyList(list_y)  # 差分表
    h = list_x[1] - list_x[0]  # 等间距
    t = (x - list_x[0]) / h  # 归一化变量
    result = list_y[0]  # 插值结果初值
    mul = 1  # 乘积项
    for i in range(1, n):
        mul *= ((t - i + 1) / i)  # 计算乘积项
        result += list_dyk[i][0] * mul  # 累加差分项
    r = abs(NewtonForwardRegression(x, n, list_x))  # 余项估计
    return (result, r)

def GetDQyList(list_x, list_y):
    """
    计算牛顿基函数插值的差商表。

    参数:
        list_x (list of float): 自变量列表。
        list_y (list of float): 因变量列表。

    返回:
        list of list of float: 差商表，每一行是对应阶数的差商值。
    """
    result = []
    result.append(list_y)
    for i in range(len(list_y) - 1, 0, -1):
        tmp = []
        for j in range(i):
            tmp.append((result[len(list_y) - 1 - i][j + 1] - result[len(list_y) - 1 - i][j]) /
                       (list_x[j + len(list_y) - i] - list_x[j]))
        result.append(tmp)
    return result

def NewtonBaseInterpolation(x, n, list_x, list_y):
    """
    使用牛顿基函数插值法计算插值结果。

    参数:
        x (float): 待插值的自变量值。
        n (int): 插值多项式的阶数。
        list_x (list of float): 自变量列表。
        list_y (list of float): 因变量列表，与 list_x 一一对应。

    返回:
        float: 插值结果。
    """
    list_dqy = GetDQyList(list_x, list_y)  # 差商表
    result = list_dqy[0][0]  # 插值结果初值
    mul = 1  # 乘积项
    for i in range(1, n):
        mul *= (x - list_x[i - 1])  # 计算乘积项
        result += list_dqy[i][0] * mul  # 累加差商项
    return result

if __name__ == '__main__':
    # 测试牛顿前向插值
    print(NewtonForwardInterpolation(0.12, 2, list_x, list_y))
    print(NewtonForwardInterpolation(0.12, 3, list_x, list_y))
    # 测试牛顿基函数插值
    print(NewtonBaseInterpolation(0.12, 2, list_x, list_y))
    print(NewtonBaseInterpolation(0.12, 3, list_x, list_y))